机器学习算法与Python实践之（五）k均值聚类（k-means）
机器学习算法与Python实践之（五）k均值聚类（k-means）zouxy09@qq.com
http://blog.csdn.net/zouxy09
机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。
机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。
一、k-means算法
通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。
我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：
如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。
k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。
k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：
式中，μc(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。
上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：
1、随机选取 k个聚类质心点
2、重复下面过程直到收敛 {
对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：
对于每一个类 j，重新计算该类的质心：
}
下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。
其伪代码如下：
********************************************************************
创建k个点作为初始的质心点（随机选择）
当任意一个点的簇分配结果发生改变时
对数据集中的每一个数据点
对每一个质心
计算质心与数据点的距离
将数据点分配到距离最近的簇
对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心
********************************************************************
二、Python实现
我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：
kmeans.py
#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email: zouxy09@qq.com
#################################################
from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt
# calculate Euclidean distance
def euclDistance(vector1, vector2):
return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))
# init centroids with random samples
def initCentroids(dataSet, k):
numSamples, dim = dataSet.shape
centroids = zeros((k, dim))
for i in range(k):
index = int(random.uniform(0, numSamples))
centroids = dataSet
return centroids
# k-means cluster
def kmeans(dataSet, k):
numSamples = dataSet.shape
# first column stores which cluster this sample belongs to,
# second column stores the error between this sample and its centroid
clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
clusterChanged = True
## step 1: init centroids
centroids = initCentroids(dataSet, k)
while clusterChanged:
clusterChanged = False
## for each sample
for i in xrange(numSamples):
minDist= 100000.0
minIndex = 0
## for each centroid
## step 2: find the centroid who is closest
for j in range(k):
distance = euclDistance(centroids, dataSet)
if distance < minDist:
minDist= distance
minIndex = j
## step 3: update its cluster
if clusterAssment != minIndex:
clusterChanged = True
clusterAssment = minIndex, minDist**2
## step 4: update centroids
for j in range(k):
pointsInCluster = dataSet.A == j)]
centroids = mean(pointsInCluster, axis = 0)
print 'Congratulations, cluster complete!'
return centroids, clusterAssment
# show your cluster only available with 2-D data
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
numSamples, dim = dataSet.shape
if dim != 2:
print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
return 1
mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']
if k > len(mark):
print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
return 1
# draw all samples
for i in xrange(numSamples):
markIndex = int(clusterAssment)
plt.plot(dataSet, dataSet, mark)
mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']
# draw the centroids
for i in range(k):
plt.plot(centroids, centroids, mark, markersize = 12)
plt.show()
三、测试结果
测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：
testSet.txt
1.6589854.285136
-3.4536873.424321
4.838138-1.151539
-5.379713-3.362104
0.9725642.924086
-3.5679191.531611
0.450614-3.302219
-3.487105-1.724432
2.6687591.594842
-3.1564853.191137
3.165506-3.999838
-2.786837-3.099354
4.2081872.984927
-2.1233372.943366
0.704199-0.479481
-0.392370-3.963704
2.8316671.574018
-0.7901533.343144
2.943496-3.357075
-3.195883-2.283926
2.3364452.875106
-1.7863452.554248
2.190101-1.906020
-3.403367-2.778288
1.7781243.880832
-1.6883462.230267
2.592976-2.054368
-4.007257-3.207066
2.2577343.387564
-2.6790110.785119
0.939512-4.023563
-3.674424-2.261084
2.0462592.735279
-3.1894701.780269
4.372646-0.822248
-2.579316-3.497576
1.8890345.190400
-0.7987472.185588
2.836520-2.658556
-3.837877-3.253815
2.0967013.886007
-2.7090342.923887
3.367037-3.184789
-2.121479-4.232586
2.3295463.179764
-3.2848163.273099
3.091414-3.815232
-3.762093-2.432191
3.5420562.778832
-1.7368224.241041
2.127073-2.983680
-4.323818-3.938116
3.7921215.135768
-4.7864733.358547
2.624081-3.260715
-4.009299-2.978115
2.4935251.963710
-2.5136612.642162
1.864375-3.176309
-3.171184-3.572452
2.8942202.489128
-2.5625392.884438
3.491078-3.947487
-2.565729-2.012114
3.3329483.983102
-1.6168053.573188
2.280615-2.559444
-2.651229-3.103198
2.3213953.154987
-1.6857032.939697
3.031012-3.620252
-4.599622-2.185829
4.1962231.126677
-2.1338633.093686
4.668892-2.562705
-2.793241-2.149706
2.8841053.043438
-2.9676472.848696
4.479332-1.764772
-4.905566-2.911070
测试代码：
test_kmeans.py
#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email: zouxy09@qq.com
#################################################
from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt
## step 1: load data
print "step 1: load data..."
dataSet = []
fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
for line in fileIn.readlines():
lineArr = line.strip().split('\t')
dataSet.append(), float(lineArr)])
## step 2: clustering...
print "step 2: clustering..."
dataSet = mat(dataSet)
k = 4
centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)
## step 3: show the result
print "step 3: show the result..."
showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)
运行的前后结果是：
不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。
四、算法分析
k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：
（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：
（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：
（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：
（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。
k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。
五、参考文献
K-means聚类算法
漫谈 Clustering (1): k-means
页:
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