CTR预估中的贝叶斯平滑方法（二）参数估计和代码实现

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1. 前言
　　前面博客介绍了CTR预估中的贝叶斯平滑方法的原理http://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6389222.html。
　　这篇博客主要是介绍如何对贝叶斯平滑的参数进行估计，以及具体的代码实现。
　　首先，我们回顾一下前文中介绍的似然函数，也就是我们需要进行最大化的目标函数：

　　下面我们就基于这个目标函数介绍怎样估计参数。

2. 参数估计的几种方法

1. 矩估计
　　矩估计在这里有点乱入的意思：），因为它其实不是用来最大化似然函数的，而是直接进行参数的近似估计。
　　矩估计的方法要追溯到19世纪的Karl Pearson，是基于一种简单的 “替换” 思想建立起来的一种估计方法。 其基本思想是用样本矩估计总体矩. 由大数定理，如果未知参数和总体的某个(些)矩有关系，我们可以很自然地来构造未知参数的估计。具体计算步骤如下：
　　1）根据给出的概率密度函数，计算总体的原点矩（如果只有一个参数只要计算一阶原点矩，如果有两个参数要计算一阶和二阶）。由于有参数这里得到的都是带有参数的式子。比如，有两个参数时，需要先计算出：期望   ; 方差   。在Beta分布中，可以计算得到，E(x) = α / (α+β)，D(x) = αβ / (α+β)2(α+β+1)。
　　2）根据给出的样本，按照计算样本的原点矩。通常它的均值mean用 表示，方差var用   表示。（另外提一句，求时，通常用n-1为底。这样是想让结果跟接近总体的方差，又称为无偏估计）
　　3）让总体的原点矩与样本的原点矩相等，解出参数。所得结果即为参数的矩估计值。这里有，mean = E(x) = α / (α+β)，var = D(x) = αβ / (α+β)2(α+β+1)。于是乎，我们可以求得α，β：
　　α = [mean*(1-mean)/var - 1] * mean
　　β = [mean*(1-mean)/var - 1] * (1-mean)

2. Fixed-point iteration
　　首先构造出似然函数，然后利用Fixed-point iteration来求得似然函数的最大值。
　　1）首先给出参数的一个初始值（通常可以使用矩估计得到的结果作为初始值）。
　　2）在初始值处，构造似然函数的一个紧的下界函数。这个下界函数可以求得其最大值处的闭式解，将此解作为新的估计用于下一次迭代中。
　　3）不断重复上述（2）的步骤，直至收敛。此时便可到达似然函数的stationary point。如果似然函数是convex的，那么此时就是唯一的最优解。
　　其实Fixed-point iteration的思想与EM类似。
　　首先给出两个不等式关系：
　　1）

　　2）

　　由此可以得到对数似然函数的一个下界：

　　想要得到此下界函数的最大值，可以分别对α，β求偏导，并令之等于零，此时便得到α和β各自的迭代公式：

　　由此，每次迭代，参数都会达到此次下界函数的最大值处，同时也就使得对应的似然函数值也相应地不断增大，直至收敛到似然函数的最大值处。

3. EM
　　通过将概率参数作为隐含变量，任何估计概率参数的算法都可以使用EM进一步变成估计个数参数的算法。
　　（1）E-step：计算出隐含变量p在已观测数据（观测到的每个类别发生的次数，以及每个类别的超参数值的上一轮迭代的取值）下的后验分布，便可以得到完全数据的对数似然函数的期望值。
　　（2）M-step：对E-step中的期望值求最大值，便可得到相应的超参数的本轮迭代的更新值。
　　（3）不断重复地运行E-step和M-step，直至收敛。
　　回来我们这里的问题上，在有了观测到的每个类别发生的次数，以及每个类别的超参数值的上一轮迭代的取值后，隐含变量p的后验分布为：

　　而此时的完全数据的对数似然函数的期望为：

　　其中，

　　于是乎，我们可以对完全数据的对数似然函数的期望求最大值，从而得到α，β的更新值，有很多方法，直接求偏导，梯度下降，牛顿法等。
　　但是呢，此时我们并不需要非常精确地求得它的最大值，而是仅仅用牛顿法迭代一次。相比于精确地求得最大值，这种方法在每次迭代时只有一半的计算量，但是迭代次数会超过两倍。
　　牛顿法的迭代可见：

3. 代码实现



#!/usr/bin/python
# coding=utf-8
import numpy
import random
import scipy.special as special
import math
from math import log

class HyperParam(object):
     def __init__(self, alpha, beta):
         self.alpha = alpha
         self.beta = beta

     def sample_from_beta(self, alpha, beta, num, imp_upperbound):
         sample = numpy.random.beta(alpha, beta, num)
         I = []
         C = []
         for click_ratio in sample:
             imp = random.random() * imp_upperbound
             #imp = imp_upperbound
             click = imp * click_ratio
             I.append(imp)
             C.append(click)
         return I, C

     def update_from_data_by_FPI(self, tries, success, iter_num, epsilon):
         '''estimate alpha, beta using fixed point iteration'''
         for i in range(iter_num):
             new_alpha, new_beta = self.__fixed_point_iteration(tries, success, self.alpha, self.beta)
             if abs(new_alpha-self.alpha)<epsilon and abs(new_beta-self.beta)<epsilon:
                 break
             self.alpha = new_alpha
             self.beta = new_beta

     def __fixed_point_iteration(self, tries, success, alpha, beta):
         '''fixed point iteration'''
         sumfenzialpha = 0.0
         sumfenzibeta = 0.0
         sumfenmu = 0.0
         for i in range(len(tries)):
             sumfenzialpha += (special.digamma(success+alpha) - special.digamma(alpha))
             sumfenzibeta += (special.digamma(tries-success+beta) - special.digamma(beta))
             sumfenmu += (special.digamma(tries+alpha+beta) - special.digamma(alpha+beta))

         return alpha*(sumfenzialpha/sumfenmu), beta*(sumfenzibeta/sumfenmu)

     def update_from_data_by_moment(self, tries, success):
         '''estimate alpha, beta using moment estimation'''
         mean, var = self.__compute_moment(tries, success)
         #print 'mean and variance: ', mean, var
         #self.alpha = mean*(mean*(1-mean)/(var+0.000001)-1)
         self.alpha = (mean+0.000001) * ((mean+0.000001) * (1.000001 - mean) / (var+0.000001) - 1)
         #self.beta = (1-mean)*(mean*(1-mean)/(var+0.000001)-1)
         self.beta = (1.000001 - mean) * ((mean+0.000001) * (1.000001 - mean) / (var+0.000001) - 1)

     def __compute_moment(self, tries, success):
         '''moment estimation'''
         ctr_list = []
         var = 0.0
         for i in range(len(tries)):
             ctr_list.append(float(success)/tries)
         mean = sum(ctr_list)/len(ctr_list)
         for ctr in ctr_list:
             var += pow(ctr-mean, 2)

         return mean, var/(len(ctr_list)-1)


def test():
     hyper = HyperParam(1, 1)
     #--------sample training data--------
     I, C = hyper.sample_from_beta(10, 1000, 10000, 1000)
     print I, C

     #--------estimate parameter using fixed-point iteration--------
     hyper.update_from_data_by_FPI(I, C, 1000, 0.00000001)
     print hyper.alpha, hyper.beta

     #--------estimate parameter using moment estimation--------
     hyper.update_from_data_by_moment(I, C)
     print hyper.alpha, hyper.beta

4. 参考文献
　　1. Click-Through Rate Estimation for Rare Events in Online Advertising
　　2. Estimating a Dirichlet distribution
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