L0、L1与L2范数

haloi

　　监督机器学习问题无非就是“minimize your error while regularizing your parameters”，也就是在正则化参数的同时最小化误差。最小化误差是为了让我们的模型拟合我们的训练数据，而正则化参数是防止我们的模型过分拟合我们的训练数据。
　　因为参数太多，会导致我们的模型复杂度上升，容易过拟合，也就是我们的训练误差会很小。但训练误差小并不是我们的最终目标，我们的目标是希望模型的测试误差小，也就是能准确的预测新的样本。所以，我们需要保证模型“简单”的基础上最小化训练误差，这样得到的参数才具有好的泛化性能（也就是测试误差也小），而模型“简单”就是通过正则函数来实现的。
　　一般来说，监督学习可以看做最小化下面的目标函数：

　　其中，第一项L(yi,f(xi;w)) 衡量我们的模型（分类或者回归）对第i个样本的预测值f(xi;w)和真实的标签yi之前的误差(loss)。我们不仅要保证训练误差最小，我们更希望我们的模型测试误差小，所以我们需要加上第二项，也就是对参数w的正则函数Ω(w)去约束我们的模型尽量的简单。
　　对于第一项Loss函数，如果是Square loss，那就是最小二乘(线性回归)了；如果是Hinge Loss，那就是著名的SVM了；如果是exp-Loss，那就是牛逼的 Boosting了；如果是log-Loss，那就是Logistic Regression了
　　正则项Ω(w)也有很多种选择，一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则项值就越大。比如，正则项可以是模型参数向量的范数。
　　一、L0范数与L1范数
　　L0范数是指向量中非0的元素的个数。如果我们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是希望W的大部分元素都是0，换句话说，让参数W是稀疏的。
　　L1范数是指向量中各个元素绝对值之和，也叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）。
　　为什么L1范数会使权值稀疏？任何的规则化算子，如果他在Wi=0的地方不可微，并且可以分解为一个“求和”的形式，那么这个规则化算子就可以实现稀疏。
　　既然L0可以实现稀疏，为什么不用L0，而要用L1呢？个人理解一是因为L0范数很难优化求解（NP难问题），二是L1范数是L0范数的最优凸近似，而且它比L0范数要容易优化求解。
　　让我们的参数稀疏有什么好处呢？这里扯两点：
　　1）特征选择(Feature Selection)：
　　大家对稀疏规则化趋之若鹜的一个关键原因在于它能实现特征的自动选择。一般来说，xi的大部分元素（也就是特征）都是和最终的输出yi没有关系或者不提供任何信息的，在最小化目标函数的时候考虑xi这些额外的特征，虽然可以获得更小的训练误差，但在预测新的样本时，这些没用的信息反而会被考虑，从而干扰了对正确yi的预测。稀疏规则化算子的引入就是为了完成特征自动选择的光荣使命，它会学习地去掉这些没有信息的特征，也就是把这些特征对应的权重置为0。
　　2）可解释性(Interpretability)：
　　另一个青睐于稀疏的理由是，模型更容易解释。例如患某种病的概率是y，然后我们收集到的数据x是1000维的，也就是我们需要寻找这1000种因素到底是怎么影响患上这种病的概率的。假设我们这个是个回归模型：y=w1*x1+w2*x2+…+w1000*x1000+b（当然了，为了让y限定在[0,1]的范围，一般还得加个Logistic函数）。通过学习，如果最后学习到的w*就只有很少的非零元素，例如只有5个非零的wi，那么我们就有理由相信，这些对应的特征在患病分析上面提供的信息是巨大的，决策性的。也就是说，患不患这种病只和这5个因素有关，那医生就好分析多了。但如果1000个wi都非0，医生面对这1000种因素，累觉不爱。
　　二、L2范数
　　除了L1范数，还有一种更受宠幸的规则化范数是L2范数: ||W||2。它也不逊于L1范数，它有两个美称，在回归里面，有人把有它的回归叫“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减weight decay”。这用的很多吧，因为它的强大功效是改善机器学习里面一个非常重要的问题：过拟合。至于过拟合是什么，上面也解释了，就是模型训练时候的误差很小，但在测试的时候误差很大，也就是我们的模型复杂到可以拟合到我们的所有训练样本了，但在实际预测新的样本的时候，糟糕的一塌糊涂。
　　L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2范数的正则项||W||2最小，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这里是有很大的区别的哦。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。为什么越小的参数说明模型越简单？我也不懂，我的理解是：限制了参数很小，实际上就限制了多项式某些分量的影响很小（看上面线性回归的模型的那个拟合的图），这样就相当于减少参数个数。其实我也不太懂，希望大家可以指点下。
　　实际上，对于L1和L2正则项的损失函数来说，我们可以写成以下形式：

　　也就是说，我们将模型空间限制在w的一个L1-ball 中。为了便于可视化，我们考虑两维的情况，在(w1, w2)平面上可以画出目标函数的等高线，而约束条件则成为平面上半径为C的一个 norm ball 。等高线与 norm ball 首次相交的地方就是最优解：

　　可以看到，L1-ball 与L2-ball 的不同就在于L1在和每个坐标轴相交的地方都有“角”出现，而目标函数的测地线除非位置摆得非常好，大部分时候都会在角的地方相交。注意到在角的位置就会产生稀疏性，例如图中的相交点就有w1=0，而更高维的时候（想象一下三维的L1-ball 是什么样的？）除了角点以外，还有很多边的轮廓也是既有很大的概率成为第一次相交的地方，又会产生稀疏性。
　　相比之下，L2-ball 就没有这样的性质，因为没有角，所以第一次相交的地方出现在具有稀疏性的位置的概率就变得非常小了。这就从直观上来解释了为什么L1-regularization 能产生稀疏性，而L2-regularization 不行的原因了。
　　因此，一句话总结就是：L1会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而L2会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。Lasso在特征选择时候非常有用，而Ridge就只是一种规则化而已。
　　总结：L1范数和L2范数正则化都有助于降低过拟合风险，但前者还会带来一个额外的好处：它比后者更易于获得稀疏(sparse)解,即它求得的w会有更少的非零分量
　　三、核范数
　　秩可以度量相关性，而矩阵的相关性实际上带有了矩阵的结构信息。如果矩阵之间各行的相关性很强，那么就表示这个矩阵实际可以投影到更低维的线性子空间，也就是用几个向量就可以完全表达了，它就是低秩的。所以我们总结的一点就是：如果矩阵表达的是结构性信息，例如图像、用户-推荐表等等，那么这个矩阵各行之间存在这一定的相关性，那这个矩阵一般就是低秩的。
　　如果X是一个m行n列的数值矩阵，rank(X)是X的秩，假如rank (X)远小于m和n，则我们称X是低秩矩阵。低秩矩阵每行或每列都可以用其他的行或列线性表出，可见它包含大量的冗余信息。利用这种冗余信息，可以对缺失数据进行恢复，也可以对数据进行特征提取。
　　核范数||W||*是指矩阵奇异值的和，英文称呼叫Nuclear Norm。这个相对于上面火热的L1和L2来说，可能大家就会陌生点。那它是干嘛用的呢？霸气登场：约束Low-Rank（低秩）。因为rank()是非凸的，在优化问题里面很难求解，那么就需要寻找它的凸近似来近似它了。对，你没猜错，rank(w)的凸近似就是核范数||W||*。
　　1）矩阵填充(Matrix Completion)：
　　我们首先说说矩阵填充用在哪。一个主流的应用是在推荐系统里面。我们知道，推荐系统有一种方法是通过分析用户的历史记录来给用户推荐的。例如我们在看一部电影的时候，如果喜欢看，就会给它打个分，例如3颗星。然后系统，例如Netflix等知名网站就会分析这些数据，看看到底每部影片的题材到底是怎样的？针对每个人，喜欢怎样的电影，然后会给对应的用户推荐相似题材的电影。但有一个问题是：我们的网站上面有非常多的用户，也有非常多的影片，不是所有的用户都看过说有的电影，不是所有看过某电影的用户都会给它评分。假设我们用一个“用户-影片”的矩阵来描述这些记录，例如下图，可以看到，会有很多空白的地方。如果这些空白的地方存在，我们是很难对这个矩阵进行分析的，所以在分析之前，一般需要先对其进行补全。也叫矩阵填充。

　　那到底怎么填呢？如何才能无中生有呢？每个空白的地方的信息是否蕴含在其他已有的信息之上了呢？如果有，怎么提取出来呢？Yeah，这就是低秩生效的地方了。这叫低秩矩阵重构问题，它可以用如下的模型表述：已知数据是一个给定的m*n矩阵A，如果其中一些元素因为某种原因丢失了，我们能否根据其他行和列的元素，将这些元素恢复？当然，如果没有其他的参考条件，想要确定这些数据很困难。但如果我们已知A的秩rank(A)<<m且rank(A)<<n，那么我们可以通过矩阵各行(列)之间的线性相关将丢失的元素求出。你会问，这种假定我们要恢复的矩阵是低秩的，合理吗？实际上是十分合理的，比如一个用户对某电影评分是其他用户对这部电影评分的线性组合。所以，通过低秩重构就可以预测用户对其未评价过的视频的喜好程度。从而对矩阵进行填充。
　　2）鲁棒PCA：
　　主成分分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要"的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。我们知道，最简单的主成分分析方法就是PCA了。从线性代数的角度看，PCA的目标就是使用另一组基去重新描述得到的数据空间。希望在这组新的基下，能尽量揭示原有的数据间的关系。这个维度即最重要的“主元"。PCA的目标就是找到这样的“主元”，最大程度的去除冗余和噪音的干扰。
　　鲁棒主成分分析（Robust PCA）考虑的是这样一个问题：一般我们的数据矩阵X会包含结构信息，也包含噪声。那么我们可以将这个矩阵分解为两个矩阵相加，一个是低秩的（由于内部有一定的结构信息，造成各行或列间是线性相关的），另一个是稀疏的（由于含有噪声，而噪声是稀疏的），则鲁棒主成分分析可以写成以下的优化问题：

　　与经典PCA问题一样，鲁棒PCA本质上也是寻找数据在低维空间上的最佳投影问题。对于低秩数据观测矩阵X，假如X受到随机（稀疏）噪声的影响，则X的低秩性就会破坏，使X变成满秩的。所以我们就需要将X分解成包含其真实结构的低秩矩阵和稀疏噪声矩阵之和。找到了低秩矩阵，实际上就找到了数据的本质低维空间。那有了PCA，为什么还有这个Robust PCA呢？Robust在哪？因为PCA假设我们的数据的噪声是高斯的，对于大的噪声或者严重的离群点，PCA会被它影响，导致无法正常工作。而Robust PCA则不存在这个假设。它只是假设它的噪声是稀疏的，而不管噪声的强弱如何。
　　由于rank和L0范数在优化上存在非凸和非光滑特性，所以我们一般将它转换成求解以下一个松弛的凸优化问题：

　　四、规则化参数的选择
　　现在我们回过头来看看我们的目标函数：

　　里面除了loss和规则项两块外，还有一个参数λ。它也有个霸气的名字，叫hyper-parameters（超参）。你不要看它势单力薄的，它非常重要。它的取值很大时候会决定我们的模型的性能，事关模型生死。它主要是平衡loss和规则项这两项的，λ越大，就表示规则项要比模型训练误差更重要，也就是相比于要模型拟合我们的数据，我们更希望我们的模型能满足我们约束的Ω(w)的特性。反之亦然。举个极端情况，例如λ=0时，就没有后面那一项，代价函数的最小化全部取决于第一项，也就是集全力使得输出和期待输出差别最小，那什么时候差别最小啊，当然是我们的函数或者曲线可以经过所有的点了，这时候误差就接近0，也就是过拟合了。它可以复杂的代表或者记忆所有这些样本，但对于一个新来的样本泛化能力就不行了。毕竟新的样本会和训练样本有差别的嘛。
　　那我们真正需要什么呢？我们希望我们的模型既可以拟合我们的数据，又具有我们约束它的特性。只有它们两者的完美结合，才能让我们的模型在我们的任务上发挥强大的性能。所以如何讨好它，是非常重要。在这点上，大家可能深有体会。还记得你复现了很多论文，然后复现出来的代码跑出来的准确率没有论文说的那么高，甚至还差之万里。这时候，你就会怀疑，到底是论文的问题，还是你实现的问题？实际上，除了这两个问题，我们还需要深入思考另一个问题：论文提出的模型是否具有hyper-parameters？论文给出了它们的实验取值了吗？经验取值还是经过交叉验证的取值？这个问题是逃不掉的，因为几乎任何一个问题或者模型都会具有hyper-parameters，只是有时候它是隐藏着的，你看不到而已，但一旦你发现了，证明你俩有缘，那请试着去修改下它吧，有可能有“奇迹”发生哦。
　　OK，回到问题本身。我们选择参数λ的目标是什么？我们希望模型的训练误差和泛化能力都很强。这时候，你有可能还反映过来，这不是说我们的泛化性能是我们的参数λ的函数吗？那我们为什么按优化那一套，选择能最大化泛化性能的λ呢？Oh，sorry to tell you that，因为泛化性能并不是λ的简单的函数！它具有很多的局部最大值！而且它的搜索空间很大。所以大家确定参数的时候，一是尝试很多的经验值，这和那些在这个领域摸爬打滚的大师是没得比的。当然了，对于某些模型，大师们也整理了些调参经验给我们。例如Hinton大哥的那篇A Practical Guide to Training RestrictedBoltzmann Machines等等。还有一种方法是通过分析我们的模型来选择。怎么做呢？就是在训练之前，我们大概计算下这时候的loss项的值是多少？Ω(w)的值是多少？然后针对他们的比例来确定我们的λ，这种启发式的方法会缩小我们的搜索空间。另外一种最常见的方法就是交叉验证Cross validation了。先把我们的训练数据库分成几份，然后取一部分做训练集，一部分做测试集，然后选择不同的λ用这个训练集来训练N个模型，然后用这个测试集来测试我们的模型，取N模型里面的测试误差最小对应的λ来作为我们最终的λ。如果我们的模型一次训练时间就很长了，那么很明显在有限的时间内，我们只能测试非常少的λ。例如假设我们的模型需要训练1天，这在深度学习里面是家常便饭了，然后我们有一个星期，那我们只能测试7个不同的λ。这就让你遇到最好的λ那是上辈子积下来的福气了。那有什么方法呢？两种：一是尽量测试7个比较靠谱的λ，或者说λ的搜索空间我们尽量广点，所以一般对λ的搜索空间的选择一般就是2的多少次方了，从-10到10啊什么的。但这种方法还是不大靠谱，最好的方法还是尽量让我们的模型训练的时间减少。例如假设我们优化了我们的模型训练，使得我们的训练时间减少到2个小时。那么一个星期我们就可以对模型训练7*24/2=84次，也就是说，我们可以在84个λ里面寻找最好的λ。这让你遇见最好的λ的概率就大多了吧。这就是为什么我们要选择优化也就是收敛速度快的算法，为什么要用GPU、多核、集群等来进行模型训练、为什么具有强大计算机资源的工业界能做很多学术界也做不了的事情（当然了，大数据也是一个原因）的原因了。
　　努力做个“调参”高手吧！祝愿大家都能“调得一手好参”！
　　http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html
　　http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24972869
　　https://www.zhihu.com/question/20924039
　　http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657