几个三角公式的直观几何解释

alonli

　　先来一个不等式：
　　1.
　　\( \left | \sin{\theta} \right | + \left | \cos{\theta} \right | \geqslant 1 \)

　　当图中三角形不能构成时，等号成立。
　　再来几个等式：
　　2.
　　\( \tan{\frac{\theta}{2}} = \frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}=\frac{1-\cos{\theta}}{\sin{\theta}} \)

　　这张图只说明了 \(\theta\) 为锐角时，上述公式成立。但实际上该公式对任意角 \(\theta\) 都成立（可以用「万能公式」直接导出）。
　　3.
　　\( \sec^2{\theta} = 1 + \tan^2{\theta} \)
　　\(\csc^2{\theta} = 1 + \cot^2{\theta}\)

　　一图胜千言（图形还是只限于锐角，不过严格证明（推广）很容易，这里就不再赘述）。
　　4. 和角公式（锐角限定，容易推广）：
　　\( \sin{(\alpha+\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta} \)
　　\( \cos{(\alpha+\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta} \)
　　\( \tan{(\alpha+\beta)} = \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}} \)

　　（图片来源：Wikipedia）

　　（图片来源：Wikipedia）
　　差角公式如法炮制即可。
　　参考：
　　trigonometry - Intuition of Addition Formula for Sine and Cosine - Mathematics Stack Exchange